4.4. Lineární regrese kalibrační přímky

Kalibrace je v analytické chemii nejběžnější vztah dvou proměnných veličin, kdy se zjišťuje závislost sledovaného signálu (závisle proměnná) na koncentraci analytu (nezávisle proměnná). Každá příčinná závislost dvou nebo více proměnných může v obecném pohledu vykazovat dvojí formu:

a) funkční závislost

- určité hodnotě nezávisle proměnné x odpovídá vždy jediná, určitá hodnota závisle proměnné y;

b) statistická závislost

- pro určitou hodnotu nezávisle proměnné x existuje vždy určité pravděpodobnostní rozdělení závisle proměnné y (náhodné veličiny). Toto rozdělení je charakterizováno především aritmetickým průměrem hodnot y a rozptylem. Se změnou hodnoty x se hodnoty y zákonitě mění a mění se i aritmetický průměr. Funkční závislost proměnných veličin řeší regresní analýza. Posouzení těsnosti rozložení závisle proměnné y kolem regresně vypočítané funkce y = f(x) umožňuje korelace.

Regresní analýza lineární závislosti má za úkol určit odhady koeficientů a (posunutí) a b (směrnice), které charakterizují regresní přímku, vyjádřenou rovnicí

   (19)

Předpokládá se, že nezávisle proměnná x je prakticky bez chyby nebo aspoň s chybou podstatně menší než je chyba závisle proměnné y.

Regresní analýza se uskutečňuje "metodou nejmenších čtverců", pro odhady regresních koeficientů platí následující vztahy (všechny ∑ pro i = 1 až n):

   (20)

   (21)

Rozptyl hodnot závisle proměnných kolem regresní přímky (přesnost kalibrace) charakterizuje směrodatná odchylka s_y,x

   (22)

kde Y_i je hodnota vypočtená z regresní rovnice (19) pro odpovídající x_i. Tato směrodatná odchylka s_y,x umožňuje výpočet směrodatných odchylek koeficientů a, b rovnice:

   (23)

   (24)

Interval spolehlivosti koeficientů rovnice se pak vypočítá podle vztahů

   (25)

   (26)

Kritickou hodnotu t_α pro počet stanovení (n – 1) a zvolenou hladinu významnosti nalezneme v tabulce 4.

Body ležící výrazněji mimo regresní přímku (zatížené hrubou chybou) lze otestovat Grubbsovým testem:

   (27)

Je-li T_i > T_α (tab. 2) pro daný počet stanovení a hladinu významnosti, musí se výsledek vyloučit jako odlehlý a výpočet koeficientů regresní přímky se pak provede znovu.

U přímkových kalibračních závislostí je koeficient a významnou veličinou - její nenulová hodnota svědčí o konstantní soustavné chybě; pokud je chyba kladná, lze ji eliminovat odečtením slepého pokusu, takže analytický signál by měl být nulový při x = 0. Zda je rozdíl regresního koeficientu a od nuly statisticky významný, se zjistí t-testem

   (28)

Hodnota t se porovnává s kritickou hodnotou t_α Studentova rozdělení (tab. 4) pro počet stanovení (n – 1) a zvolenou pravděpodobnost. Pokud je t < t_α, parametr a se významně neliší od nuly a mezi proměnnými lze předpokládat platnost jednoduchého funkčního vztahu

   (29)

kde směrnici k odhadujeme jako a směrodatná odchylka s_y,x pak bude

   (30)

Těsnost rozložení závisle proměnné veličiny kolem lineární regresní přímky určuje korelační koeficient r

   (31)

Čím je hodnota korelačního koeficientu bližší ±1, tím je závislost mezi proměnnými těsnější a tím více se blíží přímce. Kladných hodnot nabývá pro přímou, záporných pro nepřímou závislost. Určení hodnoty koeficientu má praktický smysl až při větším počtu dvojic x_i, y_i.

Někdy se setkáváme s případy nelineárních závislostí mezi proměnnými veličinami. O takovém případu se snadno přesvědčíme jednoduchou kontrolou. Pokud hodnoty poměru Δy/Δx náhodně kolísají kolem střední hodnoty, jedná se o lineární závislost. Vykazují-li pravidelnou změnu - vzestup či pokles - pak musíme předpokládat závislost nelineární. Matematické řešení nelineárních funkcí závisí na řadě podmínek podle typu závislosti. Nejčastější formou je transformace nelineární závislosti na lineární a pak se řeší výše popsanou metodou. Běžné postupy pro řešení nelineárních regresních závislostí lze nalézt v matematicko-statistické literatuře (např. Eckschlager K. a kol.: Vyhodnocování analytických výsledků a metod).

Řešený příklad:

Příklad 4.21 

Vzorek cukru hmotnosti 0,4598 g byl rozpuštěn ve vodě a doplněn na objem 100 ml. Z tohoto základního roztoku bylo odpipetováno 10 ml k voltametrickému stanovení kadmia a proudový signál měl hodnotu 5,05 nA. Metodou regresní kalibrační křivky zjistěte koeficienty a,b, jejich interval spolehlivosti
L(a,b)_1,2 pro α = 0,05, korelační koeficient r a procentový obsah kadmia v cukru. Kalibrační graf byl zkonstruován z následujících dvojic dat: x_i (ng/ml) - y_i (nA): 0,562 - 0,38; 1,124 - 0,88; 1,168 - 1,50; 2,248 - 2,12; 2,81 - 2,63; 3,372 - 3,12; 3,934 - 3,62; 5,058 - 4,25; 6,182 - 5,38; 7,306 - 6,37; 8,43 - 7,13; 9,55 - 8,39.